6.3-二分查找

704. 二分查找

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题意描述：给定一个 n 个元素有序的（升序）整型数组 nums 和一个目标值 target ，写一个函数搜索 nums 中的 target，如果目标值存在返回下标，否则返回 -1。

这道题目的前提是数组为有序数组，同时题目还强调数组中无重复元素，因为一旦有重复元素，使用二分查找法返回的元素下标可能不是唯一的，这些都是使用二分法的前提条件。二分查找涉及的很多的边界条件，逻辑比较简单，但就是写不好。例如到底是 while(left < right) 还是 while(left <= right)，到底是right = middle呢，还是要right = middle - 1呢？

大家写二分法经常写乱，主要是因为对区间的定义没有想清楚，区间的定义就是不变量。要在二分查找的过程中，保持不变量，就是在while寻找中每一次边界的处理都要坚持根据区间的定义来操作，这就是循环不变量规则。

写二分法，区间的定义一般为两种，左闭右闭即[left, right]，或者左闭右开即[left, right)。

写法一：

如果说定义 target 是在一个在==左闭右开==的区间里，也就是[left, right) ，那么二分法的边界处理方式则截然不同。

有如下两点：

• while (left < right)，这里使用 < ,因为left == right在区间[left, right)是没有意义的
• if (nums[middle] > target) right 更新为 middle，因为当前nums[middle]不等于target，去左区间继续寻找，而寻找区间是左闭右开区间，所以right更新为middle，即：下一个查询区间不会去比较nums[middle]

class Solution {
public:
    int search(vector<int>& nums, int target) {
        int left = 0;
        int right = nums.size(); // 定义target在左闭右开的区间里，即：[left, right)
        while (left < right) { // 因为left == right的时候，在[left, right)是无效的空间，所以使用 <
            int middle = left + ((right - left) >> 1);//移位运算优先级比算数运算低，要加括号
            if (nums[middle] > target) {
                right = middle; // target 在左区间，在[left, middle)中
            } else if (nums[middle] < target) {
                left = middle + 1; // target 在右区间，在[middle + 1, right)中
            } else { // nums[middle] == target
                return middle; // 数组中找到目标值，直接返回下标
            }
        }
        // 未找到目标值
        return -1;
    }
};

写法二

我们定义 target 是在一个在左闭右闭的区间里，也就是[left, right] （这个很重要非常重要）。

区间的定义这就决定了二分法的代码应该如何写，因为定义target在[left, right]区间，所以有如下两点：

• while (left <= right) 要使用 <= ，因为left == right是有意义的，所以使用 <=
• if (nums[middle] > target) right 要赋值为 middle - 1，因为当前这个nums[middle]一定不是target，那么接下来要查找的左区间结束下标位置就是 middle - 1

class Solution {
public:
    int search(vector<int>& nums, int target) {
        int left = 0;
        int right = nums.size() - 1; // 定义target在左闭右闭的区间里，[left, right]
        while (left <= right) { // 当left==right，区间[left, right]依然有效，所以用 <=
            int middle = left + ((right - left) / 2);// 防止溢出 等同于(left + right)/2
            if (nums[middle] > target) {
                right = middle - 1; // target 在左区间，所以[left, middle - 1]
            } else if (nums[middle] < target) {
                left = middle + 1; // target 在右区间，所以[middle + 1, right]
            } else { // nums[middle] == target
                return middle; // 数组中找到目标值，直接返回下标
            }
        }
        // 未找到目标值
        return -1;
    }
};

• 时间复杂度：O(log n)
• 空间复杂度：O(1)

---

35.搜索插入位置

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题意：给定一个排序数组和一个目标值，在数组中找到目标值，并返回其索引。如果目标值不存在于数组中，返回它将会被按顺序插入的位置。你可以假设数组中无重复元素。

示例 1:

• 输入: [1,3,5,6], 5
• 输出: 2

示例 2:

• 输入: [1,3,5,6], 2
• 输出: 1

示例 3:

• 输入: [1,3,5,6], 7
• 输出: 4

示例 4:

• 输入: [1,3,5,6], 0
• 输出: 0

这道题目，要在数组中插入目标值，有以下这四种情况。

• 目标值在数组所有元素之前
• 目标值等于数组中某一个元素
• 目标值插入数组中的位置
• 目标值在数组所有元素之后

解一：暴力

class Solution {
public:
    int searchInsert(vector<int>& nums, int target) {
        for (int i = 0; i < nums.size(); i++) {
        // 分别处理如下三种情况
        // 目标值在数组所有元素之前
        // 目标值等于数组中某一个元素
        // 目标值插入数组中的位置
            if (nums[i] >= target) { // 一旦发现大于或者等于target的num[i]，那么i就是我们要的结果
                return i;
            }
        }
        // 目标值在数组所有元素之后的情况
        return nums.size(); // 如果target是最大的，或者 nums为空，则返回nums的长度
    }
};

• 时间复杂度：O(n)
• 空间复杂度：O(1)

解二：二分

题意有==有序+无重复==

注意这道题目的前提是数组是有序数组，这也是使用二分查找的基础条件。

以后大家只要看到面试题里给出的数组是有序数组，都可以想一想是否可以使用二分法。

同时题目还强调数组中无重复元素，因为一旦有重复元素，使用二分查找法返回的元素下标可能不是唯一的。

class Solution {
public:
    int searchInsert(vector<int>& nums, int target) {
        int n = nums.size();
        int left = 0;
        int right = n - 1; // 定义target在左闭右闭的区间里，[left, right]
        while (left <= right) { // 当left==right，区间[left, right]依然有效
            int middle = left + ((right - left) / 2);// 防止溢出 等同于(left + right)/2
            if (nums[middle] > target) {
                right = middle - 1; // target 在左区间，所以[left, middle - 1]
            } else if (nums[middle] < target) {
                left = middle + 1; // target 在右区间，所以[middle + 1, right]
            } else { // nums[middle] == target
                return middle;
            }
        }
        // 分别处理如下四种情况
        // 目标值在数组所有元素之前  [0, -1]
        // 目标值等于数组中某一个元素  return middle;
        // 目标值插入数组中的位置 [left, right]，return  right + 1
        // 目标值在数组所有元素之后的情况 [left, right]， 因为是右闭区间，所以 return right + 1
        return right + 1;
    }
};

• 时间复杂度：O(log n)
• 空间复杂度：O(1)

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34. 在排序数组中查找元素的第一个和最后一个位置

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本题与ACwing789.数的范围类似

题意：

给定一个按照升序排列的整数数组 nums，和一个目标值 target。找出给定目标值在数组中的开始位置和结束位置。

如果数组中不存在目标值 target，返回 [-1, -1]。

进阶：你可以设计并实现时间复杂度为 $O(\log n)$ 的算法解决此问题吗？

示例 1：

• 输入：nums = [5,7,7,8,8,10], target = 8
• 输出：[3,4]

示例 2：

• 输入：nums = [5,7,7,8,8,10], target = 6
• 输出：[-1,-1]

示例 3：

• 输入：nums = [], target = 0
• 输出：[-1,-1]

分析：

下面我来把所有情况都讨论一下。

寻找target在数组里的左右边界，有如下三种情况：

• 情况一：target 在数组范围的右边或者左边，例如数组{3, 4, 5}，target为2或者数组{3, 4, 5},target为6，此时应该返回{-1, -1}
• 情况二：target 在数组范围中，且数组中不存在target，例如数组{3,6,7},target为5，此时应该返回{-1, -1}
• 情况三：target 在数组范围中，且数组中存在target，例如数组{3,6,7},target为6，此时应该返回{1, 1}

这三种情况都考虑到，说明就想的很清楚了。

这里采用while (left <= right)的写法，区间定义为[left, right]，即左闭右闭的区间。确定好：计算出来的右边界是不包含target的右边界，左边界同理。

右边界：

// 二分查找，寻找target的右边界（不包括target）
// 如果rightBorder为没有被赋值（即target在数组范围的左边，例如数组[3,3]，target为2），为了处理情况一
int getRightBorder(vector<int>& nums, int target) {
    int left = 0;
    int right = nums.size() - 1; // 定义target在左闭右闭的区间里，[left, right]
    int rightBorder = -2; // 记录一下rightBorder没有被赋值的情况
    while (left <= right) { // 当left==right，区间[left, right]依然有效
        int middle = left + ((right - left) / 2);// 防止溢出 等同于(left + right)/2
        if (nums[middle] > target) {
            right = middle - 1; // target 在左区间，所以[left, middle - 1]
        } else { // 当nums[middle] == target的时候，更新left，这样才能得到target的右边界
            left = middle + 1;
            rightBorder = left;
        }
    }
    return rightBorder;
}

左边界：

// 二分查找，寻找target的左边界leftBorder（不包括target）
// 如果leftBorder没有被赋值（即target在数组范围的右边，例如数组[3,3],target为4），为了处理情况一
int getLeftBorder(vector<int>& nums, int target) {
    int left = 0;
    int right = nums.size() - 1; // 定义target在左闭右闭的区间里，[left, right]
    int leftBorder = -2; // 记录一下leftBorder没有被赋值的情况
    while (left <= right) {
        int middle = left + ((right - left) / 2);
        if (nums[middle] >= target) { // 寻找左边界，就要在nums[middle] == target的时候更新right
            right = middle - 1;
            leftBorder = right;
        } else {
            left = middle + 1;
        }
    }
    return leftBorder;
}

处理三种情况

左右边界计算完之后，看一下主体代码，这里把上面讨论的三种情况，都覆盖了

class Solution {
public:
    vector<int> searchRange(vector<int>& nums, int target) {
        int leftBorder = getLeftBorder(nums, target);
        int rightBorder = getRightBorder(nums, target);
        // 情况一
        if (leftBorder == -2 || rightBorder == -2) return {-1, -1};
        // 情况三
        if (rightBorder - leftBorder > 1) return {leftBorder + 1, rightBorder - 1};
        // 情况二
        else return {-1, -1};
    }
private:
    int getRightBorder(vector<int>& nums, int target){
      int l = 0;
      int r = nums.size() - 1;
      int rightBorder = -2;
      while(l <= r){
        int mid = l + (r - l) / 2;
        if(nums[mid] > target)  r = mid - 1;
        else {
          l = mid + 1;
          rightBorder = l;
      }
    }
    return rightBorder;
};

private:
    int getLeftBorder(vector<int>& nums,int target){
      int l = 0;
      int r = nums.size() - 1;
      int leftBorder = -2;
      while(l <= r){
        int mid = l + (r - l) / 2;
        if(nums[mid] < target) l = mid + 1;
        else{
          r = mid - 1;
          leftBorder = r;
        }
      }
    return leftBorder;
}
};

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69. x 的平方根

题目描述：给你一个非负整数 x ，计算并返回 x 的 算术平方根 。由于返回类型是整数，结果只保留 整数部分 ，小数部分将被 舍去 。

注意：不允许使用任何内置指数函数和算符，例如 pow(x, 0.5) 或者 x ** 0.5 。

由于 x 平方根的整数部分 ans是满足==k^2 <=x==的最大 k 值，因此我们可以对 k 进行二分查找，从而得到答案。

二分查找的下界为 0，上界可以粗略地设定为 x。在二分查找的每一步中，我们只需要比较中间元素 mid 的平方与 x 的大小关系，并通过比较的结果调整上下界的范围。由于我们所有的运算都是整数运算，不会存在误差，因此在得到最终的答案==ans== 后，也就不需要再去尝试 ==ans+1== 了。

此题相当于找右边界的写法。

class Solution {
public:
    int mySqrt(int x) {
        int l = 0, r = x, ans = -1;
        while (l <= r) {
            int mid = l + (r - l) / 2;
            if ((long long)mid * mid <= x) {
                ans = mid;
                l = mid + 1;
            } else {
                r = mid - 1;
            }
        }
        return ans;
    }
};

另解：牛顿迭代法

牛顿迭代法是一种可以用来快速求解函数零点的方法。

为了叙述方便，我们用 C 表示待求出平方根的那个整数。显然，C 的平方根就是函数y=f(x)=x^2−C的零点。

我们希望找到的是 sqrtC 这个零点。因此选择 x0=C作为初始值，每次迭代均有 xi+1<xi ，零点 sqrtC在其左侧，所以我们一定会迭代到这个零点。

每一次迭代后，我们都会距离零点更进一步，所以当相邻两次迭代得到的交点非常接近时，我们就可以断定，此时的结果已经足够我们得到答案了。一般来说，可以判断相邻两次迭代的结果的差值是否小于一个极小的非负数 ϵ，其中 ϵ 一般可以1e-6或1e-7 。

class Solution {
public:
    int mySqrt(int x) {
        if (x == 0) {
            return 0;
        }

        double C = x, x0 = x;
        while (true) {
            double xi = 0.5 * (x0 + C / x0);
            if (fabs(x0 - xi) < 1e-7) {
                break;
            }
            x0 = xi;
        }
        return int(x0);
    }
};

复杂度分析

• 时间复杂度：O(log⁡x)，此方法是二次收敛的，相较于二分查找更快。
• 空间复杂度：O(1)。

---

367.有效的完全平方数

题目描述：给你一个正整数 num 。如果 num 是一个完全平方数，则返回 true ，否则返回 false 。

完全平方数 是一个可以写成某个整数的平方的整数。换句话说，它可以写成某个整数和自身的乘积。

不能使用任何内置的库函数，如 sqrt 。

分析同上道题

解法一：二分

class Solution {
public:
    bool isPerfectSquare(int num) {
      int l = 0 , r = num;
      while(l <= r){
        int mid = l + (r - l) / 2;
        if((long)mid * mid < num) l = mid + 1;
        else if((long)mid * mid > num)  r = mid - 1;
        else return true;
      }
      return false;
    }
};

解法二：牛顿迭代法

class Solution {
public:
    bool isPerfectSquare(int num) {
        double x0 = num;
        while (true) {
            double x1 = (x0 + num / x0) / 2;
            if (x0 - x1 < 1e-6) {
                break;
            }
            x0 = x1;
        }
        int x = (int) x0;
        return x * x == num;
    }
};

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27. 移除元素

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题意描述：给你一个数组 nums 和一个值 val，你需要 原地 移除所有数值等于 val 的元素，并返回移除后数组的新长度。

不要使用额外的数组空间，你必须仅使用 O(1) 额外空间并原地修改输入数组。

元素的顺序可以改变。你不需要考虑数组中超出新长度后面的元素。

示例 1: 给定 nums = [3,2,2,3], val = 3, 函数应该返回新的长度 2, 并且 nums 中的前两个元素均为 2。 你不需要考虑数组中超出新长度后面的元素。

示例 2: 给定 nums = [0,1,2,2,3,0,4,2], val = 2, 函数应该返回新的长度 5, 并且 nums 中的前五个元素为 0, 1, 3, 0, 4。

你不需要考虑数组中超出新长度后面的元素。

双指针法

双指针法（快慢指针法）： 通过一个快指针和慢指针在一个for循环下完成两个for循环的工作。

定义快慢指针

• 快指针：寻找新数组的元素 ，新数组就是不含有目标元素的数组
• 慢指针：指向更新 新数组下标的位置

双指针法（快慢指针法）在数组和链表的操作中是非常常见的，很多考察数组、链表、字符串等操作的面试题，都使用双指针法。

后续都会一一介绍到，本题代码如下：

// 时间复杂度：O(n)
// 空间复杂度：O(1)
class Solution {
public:
    int removeElement(vector<int>& nums, int val) {
      int slow = 0;
      for(int fast = 0 ; fast < nums.size() ; fast++){
        if(nums[fast] != val) nums[slow++] = nums[fast];
      }
      return slow;
    }
};